bonjour,

Si vous avez des souvenirs de lycée (non pas ceux là ), vous vous souvenez que pour trouver 3 inconnues, il faut 3 équations, sinon c'est impossible à résoudre.

voyons cela:


C =K-rT { N(d). expression-1.d + 0,5 σ√τ N'(d) . expression+1.d }
P =K-rT { [N(d)-1]. expression-1.d + 0,5 σ√τ N'(d) . expression+1.d }
C-P = K-rT . expression-1.d

à priori d ne nous intéresse pas car n'est pas une constante du modèle de l'option.
reprenons expression-1 initial = e(r - q).τ . S/K - 1

C-P = S e-qT - K e-rT
C'est exactement ce que nous aurions trouvé en utilisant les équations de call et put avant approximation linéaire. c'est heureux

Pour 2 couples de valeur de call et put, S et K seront connus.
Nous pourrons donc déterminer r et q comme les options lui ont donné "un prix" ou plutôt un taux.

C1-P1=S e-qT - K1 e-rT
C2-P2=S e-qT - K2 e-rT

(il est tout à fait possible de choisir les couples de call et put pout un même prix de sous-jacent S)

après c'est du classique de pré-bac.

par soustraction : C1-P1-C2+P2 = (K2-K1) e-rT => r = - Ln [ (C1-P1-C2+P2) / (K2-K1) ] /T

par addition : C1-P1+C2-P2= 2Se-qT - (K1+K2) e-rT

en remplaçant e-rT par (C1-P1-C2+P2) / (K2-K1) on obtient : q = -Ln { [K2 (C1-P1) - K1 (C2-P2) ] / [S (K2-K1))] } / T

r = - Ln { (C1-P1-C2+P2) / (K2-K1) } /T
q = -Ln { [K2 (C1-P1) - K1 (C2-P2) ] / [S (K2-K1))] } / T

Il nous reste à trouver σ. En prenant C+P pour "répartir" l'erreur sur la cotation de 2 options nous obtenons :

C+P = [2.N(d)-1] [S.e-q.τ - K e-r.τ ] + σ√τ N'(d) . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]

σ={C+P -[2.N(d)-1].[S.e-q.T-Ke-r.T] } / {√τ. N'(d) .[Se-q.T+Ke-r.T]
L'idéal serait de trouver un couple d'options avec un strike pour lequel S=S0 (S pour lequel d=0 et N(d)=0,5 & N'(d)=0,4)
on aurait:

σ = (C+P) / (0,4 √τ . [S.e-q.τ + K e-r.τ ])
Comme c'est un idéal et que σ est un ratio, chaque erreur, si elles sont de sens opposés (effet du ratio oblige) vont s'ajouter sur σ.

de plus d n'est connu qu'à condition de connaître σ√τ !


voyons ces erreurs :
en remplaçant
  • d par son expression = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] / ( σ√τ )
  • N(d) par son extrapolation linéaire = N(d+∆d)=N(d) + ∆d . σ√τ . N'(d)


soit pour d proche de 0 c'est à dire S tel que d=0 (compte tenu de r et q)
  • N(∆d)=0,5 + ∆d . σ√τ . 0,4
  • ∆d = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] / ( σ√τ )


σ√τ a "disparu" ce qui nous arrange bien

N(∆d)=0,5 + [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] . 0,4


et pour N'(d)
voici le son graphe ainsi que celui d'une constante, d'une approximation linéaire en 1 segment et en 2 segments ainsi que les erreurs associées.

tout d'abord, il faut savoir que N"'(0)=0 et n'est donc d'aucune utilité à proximité de d=0
  • 1 ère solution choisir une constante pour N'(d) qui minimise l'erreur pour une certaine plage
  • 2ème solution une fonction affine dont l'erreur est minimisé sur d[0;0,3]
  • 3 eme solution idem 2ème solution mais sur 2 segments

x1.png

en utilisant la 2 eme solution

N'(∆d)=0,4-0,05. [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] / σ√τ

reprenons l'équation initiale
maintenant :

C+P = [2.N(d)-1] [S.e-q.τ - K e-r.τ ] + σ√τ N'(d) . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]
C+P = 0,8.[ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] [S.e-q.τ - K e-r.τ ] + σ√τ { 0,4-0,05. [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )]/σ√τ} . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]
C+P - 0,8.[ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] [S.e-q.τ - K e-r.τ ] + 0,05. [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )]. [S.e-q.τ + K e-r.τ ] = σ√τ 0,4 . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]

finalement

σ={C+P-0,8.[ Ln(S/K)+(r-q).τ] [S.e-q.τ-K e-r.τ ] + 0,05.[ Ln(S/K)+(r-q).τ] . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]} / {√τ 0,4 . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]}

σ={C+P+[ Ln(S/K) + (r-q).τ ] [-0,75.S.e-q.τ +0,85. K e-r.τ ] } / {√τ 0,4 . [S.e-q.τ + K e-r.τ ]}
L'expression semble bien compliquée. En fait 1 "correction" est ajoutée à "C-P" pour calculer σ

Les séries d'options associées à leurs sous-jacent ont des prix d'exercices échelonnés selon un pas fixe ∆K
l'écart maximum de d=0 est ∆K/2

si ∆K/2 < 0,25.K.σ√τ alors le critère sur T pour que d<0,25 et avoir une erreur minimum sur σ est T> {2∆K/Kσ}2

Prenons un exemple avec le cac est ses options PXA: ∆K=50 et σ=20% et K=3900 => T> 0,0164 an soit 6 jours


Il ne reste plus qu'à essayer.