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d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )
plusieurs remarques :
- σ√τ est la mesure du risque en volatilité annuelle rapporté à la racine carré du temps restant à l'échéance en année
- d1 et d2 diffèrent de σ√τ et donc d'un risque partagé à la hausse et à la baisse
- d1 et d2 ont toutes 2 un dénominateur de σ√τ et expriment donc un ratio ou plus simplement un coefficient rapporté à σ√τ .
- On peut dire que d1 et d2 sont normalisées à σ√τ (soumettre à une norme)
- cela signifie que la "fonction de transfert" qu'est la fonction de répartition de la loi normale sera utilisable quelque soit l'échéance et l'importance du risque associé à un sous jacent.
- d1 et d2 sont des nombres sans dimension et représentatif d'un taux de σ√τ
- d1 et d2 sont une somme de facteurs multiples
Les différents facteurs
Ln(S/K) exprime l'écart du sous jacent au strike
la fonction logarithme népérien possède l'avantage de signer le sens de cet écart qui est au départ un ratio strictement positif (>1 ou <1)
revers de la médaille : si l'inverse d'un ratio ne fait que changer le signe, il ne représente pas la même écart à la hausse et à la baisse comme pour le terme +/- 0.5σ²
Cela ne change rien pour les calculs de call et put pour un même niveau de sous jacent
puisque les probabilités utilisées pour les put sont les probabilités complémentaires de celles utilisées pour les call : N(-d)=1-N(d)
(r-q)τ : sont la correction du taux sans risque et du dividende exprimé sous forme de distribution à un taux continu.
+/- 0.5σ²τ : est la mesure du risque partagé de part et d'autre du prix du sous-jacent.
Pour l'utilisation de la loi normale, on peut s'en tenir là
Mais ce qui suit nous manquerait pour comprendre intuitivement les options (comprendre le fonctionnement des pricers)
L'influence de ces différents facteurs
La norme σ√τ évolue proportionnellement à la volatilité σ et avec la racine carré du temps restant à l'échéance T (qui va décroissant avec le temps présent).
Cette norme va donc être 2 fois plus petite avec une volatilité 2 fois plus petite ou un temps restant à l'échéance 4 fois plus petit
on voit bien que sur les extrémité N(d1)=N(d2)=0 ou 1 DOTM ou DITM (deep in the money) pour le call et inversement pour le put
ub20.png
ub21.png
on reconnait bien la fameuse courbe de perte de valeur temps
ub22.png
Maintenant l'évolution de d1 et d2
Ln(S/K)/σ√τ = ratio => en extrayant S=K exp (Rσ√τ) (à la non linéarité du logarithme près) S= K + Rσ√τ
cela veut dire que le "nombre" de σ√τ à l'écart du strike va caractériser le "degré" de in/out the money
(r-q)T n'est pas un ratio de σ√τ ou plutôt le facteur est (r-q)/ (σ/√τ)
donc l'influence du taux sans risque r et du taux de dividende agissent en opposition proportionnellement à σ et inversement proportionnellement à √τ
C'est pourquoi les dividendes et le taux sans risque ont plus d'influence sur les options longues (et décalent les prix des call et put)
Les 2 précédents facteurs influencent le prix des options en décalant simultanément et inversement les prix des put et call (augmentation et perte de valeur simultanées et vice versa)
σ2τ inverse l'influence de la norme car le facteur donne σ√τ
Ce facteur influence les prix du put et du call en conjonction. Typiquement c'est le facteur qui joue sur la valeur temps proportionnellement à σ et proportionnellement à √τ
Une diminution de moitié de σ a le même effet qu'une division par 4 de T
Maintenant voici la courbe normale Centrée sur le graphe où N(d1) et N(d2) évoluent.
En apparence, elle sont identiques, mais regardez bien.
L'écart entre N(d1) et N(d2) est double sur la première ... et c'est tout...mais
ub23.png
la division par 2 de σ aurait du conduire N(d1) et N(d2) à se centrer sur 2.
seulement q= σ√τ compense de -1
ub24.jpg
Vous voyez où je veux en venir. En connaissant la norme de calcul de d1 et d2 soit σ√τ, on peut déduire l'importance des facteurs d'influence r, q, σ, T et S/K