bonjour,

Bien sur un exemple n'a de valeur que s'il y a un contre exemple. Vous allez rire, c'est le même.
En fait dans il faut montrer l'exemple , je montrais où je veux arriver dans mon raisonnement et surtout aboutir à une utilisation "intuitive" des options.

Reprenons donc un σ de 10%, un T de 91 jours et un prix d'exercice de 100. Nous partons de l'échelle des prix S, pour laquelle nous calculons l'options "vraie" d'après les calcul de Black & Scholes, puis la méthode d'interpolation de d comme étant des multiples de σ√τ.

Rappelons aussi que les prix des options et les grecs sont composés de N(d1), N(d2), N'(d1).

Après avoir déterminé où se trouve d, les calculs sont rigoureusement ceux de B&S. C'est comme si nous utilisions une table et n'est donc pas gênant pour ce qui suit.

ex1.jpg

Finalement, il semblerait qu'il n'y ait pas de quoi s'inquiéter

• Le call estimé est quasiment le même que le call calculé. D'ailleurs l'erreur absolue (la différence) fait 2 pics de -0,0014.
• idem pour N(d1) et N(d2). pour N de valeur max =1 et N' de valeur max =0,4 les pics d'erreur sont d'environ +/- 0,01
• idem pour N'(d1) valeur max de 0,4 avec un pic d'erreur < 0,015

Tout cela est très acceptable

Oui, mais le cac à une volatilité de 20% en ce moment, 30% mi 2012 et a culminé a 80%. (alors σ√τ = 10% est très insuffisant pour évaluer la viabilité de la méthode)

prenons σ√τ= 50% (50% de volatilité sur une échéance de 1 an)
ex2.jpg

• le call semble ne pas trop en souffrir, même si l'erreur s'est fortement apprécié. Cela est du au fait que l'option est calculée avec N(d1) et N(d2) qui aux extrémités des échelles valent 0 ou 1. L'option vaut donc soit 0 soit la différence (S-K), quelque soit la valeur de d.
• par contre c'est la catastrophe pour N(d1), N(d2) dont le pic d'erreur est à 0,1 , N'(d1) a un pic > 0,15 pour une amplitude de signal plus faible (0,4).

Depuis le début, on sait que la difficulté vient du terme Ln(S/K). J'ai bien dit difficulté car cela rends service de pouvoir quantifier un ratio avec un signe selon que le prix serait > ou < au prix d'exercice.

en fait en partant de l'équation : d = Ln (S/K) / σ√τ on obtient S/K = e ^{(d σ√τ)}

En observant d'une part la composante σ√τ et l'échelle de valeur de d, on peut obtenir le graphe suivant qui traduit la diversité de coefficients à appliquer au prix d'exercice pour obtenir la valeur de S.

ex3.jpg

plusieurs remarques:

• pour d=0, le coefficient est constant quelque soit σ√τ et est égal à 100%. D'ailleurs, sur le graphe précédent, les erreurs s'annulent pour d=0 et même de part et d'autre sur un certain intervalle.
• pour σ√τ faible, l'amplitude entre le coefficient min et max est réduite. Toutes les options ont à un moment un σ√τ faible (c'est bon à savoir).
• pour σ√τ plus important l'écart est de plus en plus important. Cela va compliquer la méthode. En effet, la réalité "exponentielle du placement de d par rapport à l'échelle des prix , n'est plus du tout comparable à une extrapolation linéaire. Par contre le temps s'écoule de manière continue et toujours dans le même sens (ici diminution de T) et il est probable que σ, ne balaye pas incessamment une grande amplitude de valeur.
• pour les distraits, l'échelle des coefficients est logarithmique. Cela signifie qu'à σ constant, le coefficient n'est pas proportionnel à d mais a une relation logarithmique (ce qui va compliquer les choses).

Nous n'avons pas encore parlé de la prise en compte du taux sans risque et du dividende qui ajoute une difficulté. Non pas que je tienne à vous mettre en haleine, mais qu'il serait dommage d'échouer parce que j'aurais oublié un facteur "d'échec".