bonjour,

• dans le contre exemple, nous avons vu qu'en étant centré sur d=0, l'erreur est minimisée. Nous avons aussi vu que plus σ√τ est grand, plus la dispersion de d sur l'échelle de S est grande
• dans c'est pas trop taux, nous avons vu qu'il ne faut pas se centrer sur le prix d'exercice (à cause du taux sans risque et du taux de dividende), mais sur d=0 où sont centrées la loi normale et sa fonction de répartition.
• dans où sont les grecs, nous avons vu que N(d1), N(d2) et N'(d1) sont les principaux constituant du prix des options et de leurs grecs.
• dans cherche facteurs particuliers, nous avons vu comment sont constitués d1 et d2 d'où nous avons extrapolé d, soit d1 et d2 sans la composante +/- 0,5 σ√τ
• dans une affaire de loi, nous avons vu que pour d [-0,5;+0,5] N'(d) est sur le sommet de la courbe en cloche et N(d) et à peu près sur une droite

Nous voulons donc représenter l'option à partir de l'échelle de d, entre -0,5 et +0,5.

• Il va falloir placer cette échelle sur l'échelle habituelle de S (prix du sous-jacent)
• à partir de la table de conversion de d N(d) et une interpolation linéaire, déduire le prix de l'option et les grecs.

2 sources d'erreurs aux conséquences mesurées par l'étendue limitée de la plage de d et par une interpolation linéaire, plutôt appropriée.

partons de :
d = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q ).τ )] / ( σ√τ )
d'où
d1 = d + 0,5 σ√τ
d2 = d - 0,5 σ√τ

L'embêtant avec d1 et d2 est qu'ils dépendent de σ√τ qui peut avoir une étendue de valeurs importante (pour simplifier de 1 (100% 1 an) à par ex 0,0286.. 10% 30jours ou 0,005 soit 10% et 1 jour)
Une solution serait d'utiliser plusieurs tables de conversion pour différentes tranches de σ√τ

j'ai choisi d'utiliser d avec une seule table de conversion, puisque d est insensible à σ√τ

plutôt qu'une table, n'aurait-on pas pu interpoler linéairement?
si, car l'erreur serait vraiment minime. Mais quelle différence entre faire de tête (ou même avec une calculatrice) un calcul de fonction affine et se référer à une table?

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on déduira N(d1) par interpolation linéaire grâce à la dérivée N'(d) = exp (-0,5.d²) / √2∏

N(d1) = N(d) + 0,5 σ√τ N'(d)
N(d2) = N(d) - 0,5 σ√τ N'(d)

pour simplifier j'ai pris N'(d)=0,375 pour l'intervalle de d considéré
cela a l'air plutôt osé. L'erreur sera d'autant plus importante que σ√τ est importante mais à relativiser tout de même
à gauche σ√τ =0,5 , à droite σ√τ≈0,1

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C'est le moment de simplifier les équations des prix du call et du put.

C = exp (- q.τ ) . S . N(d1) - exp (- r.τ) . K . N(d2)
P = - exp (- q.τ ) . S . N(-d1) + exp (- r.τ ) . K . N(-d2)

en remplaçant N(d1) et N(d2) par leur extrapolation linéaire, nous avons :

C = exp (- q.τ ) . S . [N(d) + 0,5 σ√τ N'(d)] - exp (- r.τ) . K . [N(d) - 0,5 σ√τ N'(d)]
C = K exp (- r.τ) . { exp ((r - q).τ ) . S/K . [N(d) + 0,5 σ√τ N'(d)] - [N(d) - 0,5 σ√τ N'(d)] }
C = K exp (- r.τ) . { N(d) [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] + 0,5 σ√τ N'(d) . [exp ((r - q).τ ) . S/K + 1 ] }

et

P = K exp (- r.τ) . { [N(d) - 1 ] [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] + 0,5 σ√τ N'(d) . [exp ((r - q).τ ) . S/K + 1 ] }

après coup, cela semble plus compliqué, mais voyons les termes séparément

• [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] vaut 0 pour la valeur S₀ qui satisfait d=0 sinon vaut le % à appliquer à S₀ pour obtenir l'écart de S à S₀ pour la valeur de d requise
• [exp ((r - q).τ ) . S/K + 1 ] = [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] + 2 -> 2 provenant de l'écart de 2 . 0,5 σ√τ N'(d) entre d1 et d2
• 0,5 σ√τ N'(d) est la pente de N(d) qui permet d'obtenir un écart d'ordonnée avec un écart d'abscisse (interpolation linéaire)
• N(d) est la probabilité d dans ]-∞;d]
• N(d) -1 est l'opposé (signe -) de la probabilité inverse d dans [d;+∞[ => c'est la seule différence entre le put et le call
• K. exp (- r.τ) est K ajusté du taux sans risque

préparons le terrain:

S₀ = K exp (- (r-q).T )
S_-0,5= S0 exp (-0,5. σ√τ)
S_+0,5= S0 exp (+0,5. σ√τ)

notons que l'écart S_+0,5 -S₀ > S₀ - S_-0,5 (loi du logarithme oblige)
Toute correspondance avec S pour une subdivision de d sera obtenu par interpolation linéaire

voici l'erreur commise sur le placement de d et par conséquent sur les calculs inhérents
l'amplitude de l'erreur n'est pas constante puisque la plage de d constante s'aplique à une plage de S proportionnelle à σ√τ
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Voilà enfin le prix du call
Ne vous y trompez la performance de l'interpolation n'est pas meilleure sur σ√τ≈0,1
En effet σ√τ est divisé par 5. L'erreur absolue aussi en effet 0,2=1/5
Mais l'erreur relative est constante à, environ 10% sur la partie la plus critique (la plus faible valeur du call)
les 2 graphes semblent identiques, seule les échelles de prix verticales changent dans la proportions du changement de σ√τ
Faut il corriger la symétrie de l'erreur ? Je dis non, car ce serait au détriment du put
Je pense que l'erreur vient de l'approximation de N'(d) à une moyenne constante.

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pour conclure:

• Le prix du call mériterait d'être amélioré, mais le fait que l'erreur n'augmente pas avec σ√τ est très intéressant
• l'extrapolation de N(d1) est très satisfaisante et utile pour calculer delta et au moyen de N(d2), Rho
• n'ayant pas vérifié en pratique l'usage de l'approximation de N'(d1), je reste prudent

voici la méthode appliquée à une plage de d de [-2; +2] avec bien entendu une table de d étendue à [-2; +2], c'est une catastrophe, mais cela n'est pas surprenant au vu de toutes les sources d'erreur possibles.

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avant de poursuivre, je vais observer l'amélioration possible sur N'(d1) et ses résultats.