Bonjour,

cette fois nous poursuivons, en utilisant une table supplémentaire pour N'(d)

suivons la procédure:

  • correction du prix d'exercice ajusté du taux sans risque et du taux de dividende: S0=K e-(r-q)T
  • taux à appliquer à S0 pour obtenir S-0,5 & S+0,5: S-0,5=S0 e(-0,5.σ√τ) & S+0,5=S0 e(+0,5.σ√τ)
  • les valeurs intermédiaires de d seront positionnées par interpolation linéaire sur l'échelle de S


en partant de l'expression du call
C = K exp (- r.τ) . { N(d) [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] + 0,5 σ√τ N'(d) . [exp ((r - q).τ ) . S/K + 1 ] }

K exp (- r.τ) est une constante (au moins à l'instant t)

l'expression : [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] sera obtenu à partir des calculs de S0-0,5 & S0+0,5 calculés 1 seule fois, soit :

  • [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] = [1 - e(-0,5.σ√τ)] . d /0,5 pour d [-0,5;0]
  • [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] = [ e(+0,5.σ√τ)-1] . d /0,5 pour d [0;+0,5]
  • [exp ((r - q).τ ) . S/K + 1 ] = [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] +2


il reste à utiliser les tables de N(d) et N'(d)

d -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
N(d) 0,308 0,344 0,382 0,421 -0,460 0,5 0,540 0,579 0,618 0,655 0,692
N'(d) 0,352 0,368 0,381 0,391 0,397 0,4 0,397 0,391 0,381 0,368 0,352
Pour obtenir N'(d1) il faut tenir compte de d1=d+0,5√τ ce qui décale N'(d1) sur la gauche de N'(d).

Finalement, une fois d positionné correctement sur l'échelle de S comme expliqué ci dessus, on pourrait réécrire l'équation du Call

C = K exp (- r.τ) . { N(d) [exp ((r - q).τ ) . S/K - 1 ] + 0,5 σ√τ N'(d) . [exp ((r - q).τ ) . S/K + 1 ] }

en notant les expression calculées 1 seule fois comme suit

C =K-rT { N(d). expression-1.d + 0,5 σ√τ N'(d) . expression+1.d }
P =K-rT { [N(d)-1]. expression-1.d + 0,5 σ√τ N'(d) . expression+1.d }
avec (comme constante):
  • 0,5 σ√τ
  • K-rT= Ke(-rT)
  • expression-1 = [1 - e(-0,5.σ√τ)] /0,5 pour d [-0,5;0]
  • expression-1 = [e(+0,5.σ√τ)-1] /0,5 pour d [0;+0,5]
  • expression+1 = expression-1 + 2


x1.jpg

x2.jpg

  • Nous avons perdu l'avantage de l'insensibilité à σ√τ, mais l'erreur s'est considérablement réduite, même à σ√τ=0,5
  • le calcul de N(d1) & N(d2) s'est aussi considérablement amélioré
  • le seul bémol est sur N'(d1) qui est obtenu à partir du décalage sur la table de 0,5 σ√τ. (donc à moins de tomber sur la bonne valeur de d1 il y aura forcément une erreur max (à mi-chemin de 2 valeurs). La solution serait d'augmenter la résolution de la table de conversion à hauteur de l'erreur max désirée. Sur le 2 eme graphe j'ai du choisir entre un décalage excessif ou insufisant. Dans ce cas l'erreur serait la même mais de signe opposé. Pour de petite valeur de σ√τ, ce décalage n'est plus nécessaire pour obtenir une erreur minimale.


Finalement pour une utilisation pratique, il reste à déterminer r et q et surtout σ, puis à essayer cette méthode en y appliquant les coefficients de personnalisation de l'option.